Exercícios de Equação Quadrática - Área Máxima do terreno

   Estou postando aqui a forma de resolução de um tipo de exercício bem comum nas provas de ensino médio sobre equação quadrática: Qual a área máxima quando se tem um determinado perímetro.

1) Sabendo que o perímetro de um terreno retangular é 40 metros, quais são as dimensões para que a área seja máxima?

Equação para área, desenhe um retângulo e faça comprimento como y e largura como x.

A = x.y (1)

Equação para o perímetro:

P = 2x + 2y (2)

Sabendo que o perímetro é 40, então usa-se a equação (2):

40 = 2x + 2y (3)

isolando y nessa equação:

y = (40-2x)/2

Substituindo na equação (1):

A = x{ (40-2x)/2}

A = x.(20-x) ---> Aqui temos uma equação quadrática, logo...

A = -x^2+20x

Fazendo os vértices, ou seja, pegando o Xv e Av, (Xv = vértice de x, Av = vértice de y , coordenadas do ponto de máximo)

Xv = -B/2A = -20/-2 = 10

Av = -(10^2)+ 20*10

Av = -100+200 = 100.

Sendo assim, o Av é a área Máxima, quando Xv = 10. Votamos com o valor de Xv na equação 3, por exemplo:

40 = 2(10)+2y
y = (40-20)/2
y = 10.

Então as dimensões do terreno para que  área seje máxima é de 10 por 10.

Gráfico: